Question

（2014•泰州模拟）设函数f（x）=（1-x）ex-1．

Answer 1

解题思路：（1）求导数，确定函数的单调性，即可证明当x＞0时，f（x）＜0；

（2）首先用数学归纳法证明a_n＞0，再结合

e

a

n

-1＜a_nean

，即可证明a_n+1＜a_n．

证明：（1）因为f（x）=（1-x）e^x-1，

所以f′（x）=-e^x+（1-x）e^x=-xe^x，

当x＞0时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，

因此f（x）＜f（0）=0．…2分

（2）首先用数学归纳法证明a_n＞0．

①当n=1时，a₁=1＞0，∴a_n＞0成立．

②假设n=k时，a_k＞0．

那么当n=k+1时，a_nean+1=ean-1，则eak+1=

eak−1

ak，…4分

当x＞0时，由不等式e^x-1＞x得

ex−1

x＞1．

所以eak+1＞1，a_k+1＞0．

由①②可知对任意的正整数n，总有a_n＞0．

由（1）知（1-a_n）ean-1＜0，所以ean-1＜a_nean．

由a_nean+1=ean-1知a_nean+1＜a_nean，所以a_n+1＜a_n．…10分．

点评：

本题考点： 数学归纳法；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．