ut 是连词,承接上面的句子.
主语：reputaion
谓语：fall
句子可以缩为：reputaion has fallen .
over the past thirty years ：时间状语.
with stories of rampant crime making headlines around the world：后置定语
全句译为：但是随着犯罪故事在全球报纸飞快地上了头条,它的那些“好”名声在过去的三十年也完了.
———————————————————————————————————
应邀再把with stories of rampant crime making headlines around the world 再分析一下.
不是像你说的那么分的,应该是这么断：with ）（stories of rampant crime making headlines around the world
with 带着的是一个宾语从句,这个句子可以缩为：story makes headline.
看明白了吗?