已知函数f(x)=ax2+2x+1(a∈R).

2个回答

  • 解题思路:(1)二次项系数为参数,先对其分类讨论,在结合一次函数二次函数的图象求解.

    (2)当函数为一次函数时直接求根即可,为二次函数时须分①两正根②一正一负③一正一零三种情况来考虑.

    (1)若a=0,则f(x)=2x+1,

    f(x)的图象与x轴的交点为(−

    1

    2,0),满足题意.

    若a≠0,则依题意得:△=4-4a=0,即a=1.

    故a=0或1.

    (2)显然a≠0.若a<0,则由x1x2=

    1

    a<0可知,方程f(x)=0有一正一负两根,此时满足题意.

    若a>0,则△=0时,a=1,此时x=-1,不满足题意.

    △>0时,此时x1+x2=-[2/a]<0,x1x2=[1/a]>0,所以方程有两负根,也不满足题意.

    故 a<0.

    点评:

    本题考点: 二次函数的性质;一元二次方程的根的分布与系数的关系.

    考点点评: 二次函数的实根分布问题是高考的一个热点问题,判断二次函数的零点分布的关键在于作出二次函数的图象的草图,根据草图通常从判别式,对称轴的位置,特殊点的函数值这三个角度列出不等式组求解.