解题思路：（1）把a的值代入抛物线并把解析式整理成顶点式解析式，即可得到顶点坐标；然后利用待定系数法求直线函数解析式求出顶点P所在的直线解析式；
（2）写出抛物线的顶点坐标，然后消掉参数a整理即可证明；根据顶点坐标的横坐标，利用分母不等于0求解直线不可以的点的坐标；
（3）过点P作PF⊥y轴于点F，根据点A、C、P的坐标可得∠ACO=45°，∠PCF=45°，然后求出PC⊥AC，再求出点P关于点C的对称点P′，根据平行线间的距离相等，等底等高的三角形相等可知过点P与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点E，然后联立直线与抛物线解析式求解即可．
（1）a=-1时，二次函数y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
顶点坐标为（1，4），
a=1时，二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，
顶点坐标为（-1，2），
设顶点P所在的直线解析式为y=kx+b，
则
k+b＝4
−k+b＝2，
解得
k＝1
b＝3，
所以，直线解析式为y=x+3；
（2）根据二次函数y=ax2+2x+3的顶点坐标公式，
x=-
2
2a=-
1
a①，
y=
4a×3−4
4a=3-
1
a②，
①②联立消掉a得，y=x+3，
∵分母为0无意义，
∴x≠0，y≠3，
∴点（0，3）不是抛物线的顶点坐标；
（3）存在．
理由如下：如图，过点P作PF⊥y轴于点F，
当x=0时，y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵抛物线y=-x2+2x+3的顶点为P（1，4），点A的坐标为A（3，0），
∴△AOC，△PCF都是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，∠PCF=45°，
∴∠ACP=90°，故PC⊥AC，
根据点的对称可得点P关于点C的对称点P′（-1，2），
根据等底等高的三角形的面积相等可得过点P、P′与AC平行的直线与抛物线的交点即为所求的点E，
∵A（3，0），C（0，3），
∴直线AC的解析式为y=-x+3，
又平行直线的解析式的k值相等，
设过点P的直线为y=-x+m，
则-1+m=4，
解得m=5，
所以直线解析式为y=-x+5，
联立
y＝−x+5
y＝−x2+2x+3，
解得
x1＝1
y1＝4，
x2＝2
y2＝3，
∵点P（1，4），∴点E1（2，3），
设过点P′的直线为y=-x+n，
则1+n=2，
解得n=1，
所以直线解析式为y=-x+1，
联立
y＝−x+1
y＝−x2+2x+3，
解得
x1＝
3+
17
2
y1＝
−1−
17
2，
x1＝
3−
17
2
y1＝
−1+
17
2，
所以，点E的坐标为E2（
3+
17
2，
−1−
17
2），E3（
3−
17
2，
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题是二次函数的综合题型，主要涉及到二次函数的顶点坐标公式，待定系数法求直线函数解析式，等底等高的三角形的面积相等，互相平行的直线的解析式的k值相等，关于点的对称点的求法，综合性较强，但难度不大，（2）中利用消参数法消掉字母a得到关于x、y的直线解析式，（3）要注意分点E在直线AC的两侧两种情况求解．