Question

证明7n(3n+1)-1 是9的倍数

Answer 1

证明:对于任意自然数n (3n+1)*7^n-1能被9整除

数学归纳法

(1)当n=1时 (3*1+1)*7-1=27能被9整除

(2)假设当n=k时 (3k+1)*7^k-1能被9整除

则当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1=[21k+28]*7^k-1

=(3k+1)*7^k-1+(18k+27)*7^k

=[(3k+1)*7^k-1]+9(2k+3)*7^k

括号中的代数式能被9整除 9(2k+3)*7^k能被9整除

所以当n=k+1时 [3(k+1)+1]*7^(k+1)-1能被9整除

综合(1)(2)可知 对于任意自然数n 有(3n+1)*7^n-1能被9整除