Question

设P是曲线y2=4x上的一个动点，则点P到点A（-1，2）的距离与点P到x=-1的距离之和的最小值为______．

Answer 1

解题思路：设P点在曲线y²=4x上的准线l：x=-1上的射影为M，曲线y²=4x的焦点为F，利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离，利用不等式的性质即可得到答案．

∵y²=4x的准线方程为：x=-1，

设曲线y²=4x的焦点为F，则F（1，0），设曲线y²=4x上的动点P（x₀，y₀），

P点在曲线y²=4x上的准线l：x=-1上的射影为M，由抛物线的定义可知，|PM|=|PF|，

又A（-1，2），

∴|AF|=

(1−(−1))2+(2−0)2=2

2，

∴|PA|+|PM|=|PA|+|PF|≥|AF|=2

2．

∴点P到点A（-1，2）的距离与点P到x=-1的距离之和的最小值为2

2．

故答案为：2

2．

点评：

本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查抛物线的简单几何性质，利用抛物线的定义将点P到准线的距离转化为点P到焦点的距离是关键，属于中档题．