Question

（2014•包头）如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB

Answer 1

解题思路：（1）运用[OE/AB]=[OF/BO]和夹角相等，得出△EOF∽△ABO．

（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．

（3）根据S_△AEF=S_梯形ABOF-S_△FOE-S_△ABE以及S_{四边形AEOF}=S_梯形ABOF-S_△ABE可得到S_△AEF与S_{四边形AEOF}关于t的表达式，进而可求出t的值．

（1）∵t=1，

∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，

∵AB=3厘米，OB=4厘米，

∴[OE/AB]=[1.5/3]=[1/2]，[OF/BO]=[2/4]=[1/2]

∵∠MON=∠ABE=90°，

∴△EOF∽△ABO．

（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．

∵AB=3，OB=4．

∴[OE/AB＝

OF

OB]．

又∵∠EOF=∠ABO=90°，

∴Rt△EOF∽Rt△ABO．

∴∠AOB=∠EFO．

∵∠AOB+∠FOC=90°，

∴∠EFO+∠FOC=90°，

∴EF⊥OA．

（3）如图，连接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，

∴BE=4-1.5t

∴S_△FOE=[1/2]OE•OF=[1/2]×1.5t×2t=[3/2]t²，

S_△ABE=[1/2]×（4-1.5t）×3=6-[9/4]t，

S_梯形ABOF=[1/2]（2t+3）×4=4t+6，

∴S_△AEF=S_梯形ABOF-S_△FOE-S_△ABE=4t+6-[3/2]t²-（6-[9/4]t）=-[3/2]t²+[25/4]t，

S_{四边形AEOF}=S_梯形ABOF-S_△ABE=4t+6-（6-[9/4]t）=[25/4]t，

∵S_△AEF=[1/2]S_{四边形AEOF}

∴-[3/2]t²+[25/4]t=[1/2]×[25/4]t，（0＜t＜[8/3]）

解得t=[25/12]或t=0（舍去）．

∴当t=

点评：

本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题主要考查了相似形综合题，解题的关键是利用S△AEF=[1/2]S四边形AEOF求t的值．