Question

一圆的圆心为椭圆右焦点,且圆过椭圆的中心交椭圆于P,直线PF （F 为椭圆左焦点）是圆切线,椭圆的离心率

Answer 1

由以F2为圆心且过椭圆中心,可知圆的半径OF2=PF2=c

点P在椭圆上,由椭圆第一定义可知PF1+PF2=2a

所以PF1=2a-PF2=2a-c

又因为直线F1M与圆F2相切,可知三角形F1PF2为直角三角形

所以PF2^2+PF1^2=F1F2^2

即c^2+(2a-c)^2=(2c)^2

所以2a^2-2ac-c^2=0

方程两边同时除以a^2整理得:(c/a)^2+2c/a-2=0

即e^2+2e-2=0

e=-1±√3

又0