过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为√2/2的椭圆C相交于A、B两点,直线y=x/2过线段AB的中

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  • 直线x+y-1=0与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1相交于M(x1,y1)、N(x2,y2)

    向量OM*向量ON=-7

    x1x2+y1y2=-7

    把y=1-x代入x^2/a^2+y^2/b^2=1得:

    b^2x^2+a^2(1-x)^2=a^2b^2

    (a^2+b^2)x^2-2a^2x+a^2-a^2b^2=0

    x1+x2=2a^2/(a^2+b^2),x1x2=(a^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)

    y1y2=(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+x1x2=(b^2-a^2b^2)/(a^2+b^2)

    所以,x1x2+y1y2=1-2a^2b^2/(a^2+b^2)=-7

    a^2b^2/(a^2+b^2)=4

    而:e=c/a=√3/2,b^2=a^2-c^2=a^2-3a^2/4=a^2/4

    解方程组:

    a^2b^2/(a^2+b^2)=4

    b^2=a^2/4

    得:

    a^2=20,b^2=5

    所以,椭圆标准方程:x^2/20+y^2/5=1