Question

（2014•荆州模拟）如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，E，F分别为DD1，DB的中点．

Answer 1

解题思路：（1）欲证EF∥平面ABC₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC₁D₁内一直线平行，连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，根据中位线定理可知EF∥D₁B，满足定理所需条件；

（2）先根据线面垂直的判定定理证出B₁C⊥平面ABC₁D₁，而BD₁⊂平面ABC₁D₁，根据线面垂直的性质可知B₁C⊥BD₁，而EF∥BD₁，根据平行的性质可得结论；

（3）利用V_B-EFC=V_E-BCF，可得结论．

（1）连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则EF∥D₁B

∵D₁B⊂平面ABC₁D₁，EF⊂平面ABC₁D₁，

∴EF∥平面ABC₁D₁；

（2）根据题意可知：B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，AB∩BC₁=B，

∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，

∵BD₁⊂平面ABC₁D₁，

∴B₁C⊥BD₁，

∵EF∥BD₁，

∴EF⊥B₁C；

（3）V_B-EFC=V_E-BCF=[1/3•

1

2•1•

1

2•

1

2]=[1/24]

点评：

本题考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．

考点点评： 本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想，属于中档题．