Question

求以焦点和椭圆上的一点构成的三角形面积

Answer 1

对于焦点△F1PF2,设∠F1PF2=θ,PF1=m,PF2=n

则m+n=2a

在△F1PF2中,由余弦定理:

(F1F2)^2=m^2+n^2-2mncosθ

即4c^2=(m+n)^2-2mn-2mncosθ=4a^2-2mn(1+cosθ)

所以mn(1+cosθ)=2a^2-2c^2=2b^2

所以mn=2b^2/(1+cosθ)

S=(mnsinθ)/2.(正弦定理的三角形面积公式)

=b^2*sinθ/(1+cosθ)

=b^2*[2sin(θ/2)cos(θ/2)]/2[cos(θ/2)]^2

=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)

=b^2*tan(θ/2)