已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y).

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  • 解题思路:(1)由题意令x=0、y=0代入f(x+y)=f(x)+f(y),求出f(0)的值;

    (2)令y=-x代入f(x+y)=f(x)+f(y),再由(1)和奇函数的定义判断即可;

    (3)根据(1)和(2)进行举例即可,从最简单的函数中举.

    (1)∵对任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y).

    ∴令x=0、y=0,有f(0+0)=f(0)+f(0)…(1分)

    ∴f(0)=0…(2分)

    (2)∵对任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y)

    令y=-x,有f(x-x)=f(x)+f(-x)…(4分)

    ∴f(0)=f(x)+f(-x)

    ∴f(-x)=-f(x),x∈R…(5分)

    ∴函数f(x)是奇函数.…(6分)

    (3)符合条件的函数f(x)=2x(答案不止一个只要符合要求都算正确)…(8分)

    点评:

    本题考点: 抽象函数及其应用;函数奇偶性的判断.

    考点点评: 本题考查了抽象函数的奇偶性的证明以及求值,主要利用赋值法,即根据结论给变量适当的值,代入恒成立的方程化简即可.