Question

设f(x)是以T为周期的连续函数,证明:∫(a为下限,a+T为上限）f（x）dx=∫f（x）dx

Answer 1

证明：∫(a～a+T） f(x)dx＝∫(0～T) f(x)dx

∫(a～a+T）f(x)dx＝∫(a～0）f(x)dx ＋ ∫(0～T）f(x)dx ＋ ∫(T～a+T）f(x)dx

对∫(T～a+T）f(x)dx,令x＝t＋T,则∫(T～a+T）f(x)dx＝∫(0～a）f(t+T)dt＝∫(0～a）f(t)dt

所以,

∫(a～a+T）f(x)dx

＝∫(a～0）f(x)dx ＋ ∫(0～T）f(x)dx ＋ ∫(T～a+T）f(x)dx

＝∫(a～0）f(x)dx ＋ ∫(0～T）f(x)dx ＋ ∫(0～a）f(x)dx

＝∫(0～T）f(x)dx