充分性：我写详细点吧,设d是A的一个特征值,x是他对应的特征向量
AB=BA,则A(Bx)=ABx=BAx=d(Bx),故Bx也是A的一个特征向量,对吧?而且这个特征向量对应的特征值是d.因为A的特征值互不相同,所以他的每个值对应的特征向量空间都是1维的,不妨设d的特征向量空间是E(d)好了,那么dim(E(d))=1,而且已经知道x,Bx都在这个空间里,所以存在常数k,使得Bx=kx
必要性：
A[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...xn]*diag{d1,d2,...dn}
B[x1,x2,...,xn]=[x1,x2,...xn]*diag{k1,k2,...kn}
记P=[x1,x2,...,xn],x1,x2,...xn线性无关故P可逆
故A=P*diag{d1,d2,...dn}*(P逆)
B=P*diag{k1,k2,...kn}*(P逆)
显然有AB=BA