Question

设O是正三棱锥P-ABC的底面△ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则[1/PQ

Answer 1

解题思路：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则v_S-PQR=[1/3]S_△PQR•h=[1/3]（[1/2]PQ•PRsinα）•PS•sinβ，记O到各面的距离为d，利用v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得结论．

设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，

则v_S-PQR=[1/3]S_△PQR•h=[1/3]（[1/2]PQ•PRsinα）•PS•sinβ．

另一方面，记O到各面的距离为d，则v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，[1/3]S_△PQR•h=[1/3]_△PQR•d+[1/3]S_△PRS•d+[1/3]_△PQS•d=[d/3×

1

2]PQ•PRsinα+[d/3×

1

2]PS•PRsinα+[d/3×

1

2]PQ•PS•sinα，

故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），

即[1/PQ+

1

PR+

1

PS＝

sinβ

d]=常数．

故选D．

点评：

本题考点： 点、线、面间的距离计算；函数的值域．

考点点评： 本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的探究能力，正确求体积是关键．