Question

已知函数f(x)＝13x3+12ax2+ax+1存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．

Answer 1

解题思路：（1）先对函数f（x）进行求导，根据原函数有两个极值点可求出a的范围，再对函数f'（x）求导得到f''（x）后判断其符号可得到导函数f′（x）在（-2，0）上的单调性．

（2）表示出直线AB的斜率，将（1）中结果代入可解出a的范围．

（1）∵函数f(x)＝

1

3x3+

1

2ax2+ax+1存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．

∴f'（x）=x²+ax+a，△=a²-4a＞0，∴a＞4或a＜0，且x₁+x₂=-a，x₁x₂=a

∴f''（x）=2x+a∴x∈（-2，0）时，f''（x）=2x+a∈（-4+a，a）

若a＞4时，f''（x）＞0，f′（x）在（-2，0）上是单调增函数

若a＜0时，f''（x）＜0，f′（x）在（-2，0）上是单调减函数

得证．

（2）直线AB的斜率=

f(x2)−f(x1 )

x2−x1=

1

3[(x2)3−(x1)3]+

1

2a[(x2)2−(x1)2]+a(x2−x1)

x2−x1

=[1/3]（x₂²+x₁²+x₁x₂）+[1/2a(x1+x2)+a=

1

3[(x1+ x2 )2−x1x2]+

1

2a(x1+x2)+a≥-2

∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a

∴

1

3](a2−a)−

1

2a2+a≥-2∴-2≤a≤6

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．