解题思路:(Ⅰ)把a=1代入函数解析式,求得函数的导函数,得到f(1)=-3,f'(1)=0,由直线方程的点斜式得答案;
(Ⅱ)求出原函数的导函数,得到导函数的零点,然后对a分类求解函数的单调期间.
(Ⅰ)∵a=1时,f(x)=x2-4x+2lnx,
∴f′(x)=
2x2−4x+2
x(x>0),
则f(1)=-3,f'(1)=0,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=-3;
(Ⅱ)f′(x)=
2x2−2(a+1)x+2a
x=
2(x−1)(x−a)
x(x>0),
由f'(x)=0,得x1=a,x2=1,
当0<a<1时,在x∈(0,a)或x∈(1,+∞)时f'(x)>0,
在x∈(a,1)时f'(x)<0,
f(x)的单调增区间是(0,a)和(1,+∞),单调减区间是(a,1);
当a=1时,在x∈(0,+∞)时f'(x)≥0,
∴f(x)的单调增区间是(0,+∞).
当a>1时,在x∈(0,1)或x∈(a,+∞)时f'(x)>0,
在x∈(1,a)时f'(x)<0.
∴f(x)的单调增区间是(0,1)和(a,+∞),单调减区间是(1,a).
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的单调区间,关键是掌握导函数的符号与原函数单调性间的关系,是中档题.