高一必修一数学难题(奇偶)已知f(x)在R上是偶函数,在R上是奇函数的g(x)过点(-1.1),(看补充)

1个回答

  • 解由g(x)是奇函数,

    故g(-x)=-g(x).(1)

    由g(x)=f(x-1)

    则g(-x)=f(-x-1)

    由(1)得

    f(-x-1)=-f(x-1).(2)

    由f(x)是偶函数,

    f(-x-1)=f(-(x+1))=f(x+1)..(3)

    由(2)和(3)得

    f(x+1)=-f(x-1)

    即f(x+2)=-f(x)

    故f(x+4)=f(x+2+2)

    =-f(x+2)

    =-[-f(x)]

    =f(x)

    故f(x)的周期T=4

    故f(2007)=f(3)

    f(2008)=f(0)

    即f(2007)+f(2008)

    =f(3)+f(0)

    =f(-1)+f(0)

    由在R上是奇函数的g(x)过点(-1.1),

    知g(-1)=1且g(0)=0

    即g(1)=-1且g(0)=0

    在g(x)=f(x-1)

    令x=1

    即g(1)=f(1-1)=f(0)=-1

    再令x=0

    即g(0)=f(0-1)=f(-1)=0

    f(2007)+f(2008)

    =f(3)+f(0)

    =f(-1)+f(0)

    =0+(-1)

    =-1