Question

已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆过点P（0，-1），且其长轴长等于圆O的直径，过点P作两条互相垂直的直线l

Answer 1

解题思路：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx+1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l₁的距离和弦长|AB|；

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．根据l₂⊥l₁，可得直线l₂的方程为x+ky-k=0，与椭圆的方程联立即可得到点C的横坐标，即可得出|PC|，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．

（1）由题意，a=2，b=1，∴椭圆的方程为

x2

4+y2＝1；由题意可知：直线l₁的斜率存在，设为k，则直线l₁的方程为y=kx-1．

又圆O：x²+y²=4的圆心O（0，0）到直线l₁的距离d=

1

1+k2．

∴|AB|=2

4−d2=2

4k2+3

1+k2．

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₀，y₀）．

∵l₂⊥l₁，∴直线l₂的方程为x+ky+k=0，与椭圆方程联立联立，

消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得x₀=-[8k

4+k2，

∴|PC|=

8

k2+1

4+k2．

∴三角形ABC的面积S_△=

1/2]|AB|•|PD|=

8

4k2+3

4+k2=

点评：

本题考点： 圆与圆锥曲线的综合；直线与圆相交的性质．

考点点评： 本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力