Question

（2014•闸北区二模）设函数f（x）=3-2x3+2x（x∈R）．

Answer 1

解题思路：（1）先对已知函数化简，求函数f（x）的值域，然后令f（x）=0可求函数的零点；

（2））利用函数的奇偶性和单调性定义来加以证明．

（1）∵f（x）=

3-2x

3+2x=-1+[6

3+2x，

∵2^x＞0，

∴3+2^x＞3

∴0＜

1

3+2x＜

1/3]，

∴0＜[6

3+2x＜2，

∴-1＜f（x）＜1，

故y=f（x）的值域为（-1，1）；

令f（x）=0，即

6

3+2x=1，

解得x=log₂3，

∴y=f（x）的零点为x=log₂3，

（2）对任意的x∈R，

f（-1）=

3-2-1

3+2-1=

5/7≠±

1

5=±f(1)，

故y=f（x）是非奇非偶函数，

∴对任意的x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，

f（x₁）-f（x₂）=

6

3+2x1-

6

3+2x2=

6(2x2-2x1)

(3+2x1)(3+2x2)]，

∵3+2x1＞0，3+2x2＞0，2x2-2x1＞0，

∴f（x₁）＞f（x₂），

故y=f（x）在定义域R上是减函数．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域．

考点点评： 本题考查了函数的值域，零点，奇偶性和单调性，属于基本知识，应该掌握熟练．