Question

已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1）．当-1≤x≤0时，f（x）=x2

Answer 1

解题思路：对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），可得f（x+2）=f（x），函数f（x）的周期T=2．由于当-1≤x≤0时，f（x）=x²．画出图象，即可得出[1，2]上的图象．设直线与抛物线在[0，1]之间相切与点P（x₀，y₀）．利用导数的几何意义可得P

(

1

2

，

1

4

)

．代入y=x-m，解得-m=

−

1

4

．当直线经过点O，A时，m=0．若直线y=x-m与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有三个不同的公共点，则

−

1

4

＜−m＜0

，解得即可．

∵对任意的x∈R，都有f（x+1）=f（x-1），∴f（x+2）=f（x），

因此函数f（x）的周期T=2．

由于当-1≤x≤0时，f（x）=x²．画出图象，即可得出[1，2]上的图象．

设直线与抛物线在[0，1]之间相切与点P（x₀，y₀）．

y′=2x，∴2x₀=1，解得x0＝

1

2，

∴y0＝(

1

2)2=[1/4]．

∴P(

1

2，

1

4)．

代入y=x-m，解得-m=−

1

4．

当直线经过点O，A时，m=0．

若直线y=x-m与函数y=f（x）的图象在[0，2]内恰有三个不同的公共点，

则−

1

4＜−m＜0，解得0＜m＜

1

4．

则实数m的取值范围是0＜m＜

1

4．

故选：C．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查了直线与曲线相交问题、导数的几何意义，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．