解1：
g(x)=xlnx
g(x)=ln(x^x)
令：g(x)=0,有：ln(x^x)=0
x^x=1
在x∈[1,2],有x=1
只有1个0点.
f(x)=x²+ax+1
f(x)=(x+a/2)²+1-a²/4
令：f(x)=0,有：(x+a/2)²+1-a²/4=0
(x+a/2)²=(a²-4)/4
x=[-a±√(a²-4)]/2
有：a²-4≥0,即：a∈(-∞,-2]∪[2,∞)
1、当a∈(-∞,-2]时：
在x∈[1,2],有：x=[-a-√(a²-4)]/2∈[1,2],
即：2≤-a-√(a²-4)……………………(1)
或：a-√(a²-4)≤4……………………(2)
由(1)有：2+a≤-√(a²-4)
(2+a)²≥[-√(a²-4)]²
a²+4a+4≥a²-4
4a≥-8
解得：a≥-2
考虑到此时a∈(-∞,-2],有：a=-2
由(2)有：a-4≤√(a²-4)
解得：a≤-2
综合以上,当a∈(-∞,-2]时,有：a=-2
2、当a∈[2,∞)时：
在x∈[1,2],有：x=[-a+√(a²-4)]/2∈[1,2],
即：2≤-a+√(a²-4)……………………(3)
或：a+√(a²-4)≤4……………………(4)
由(3)有：2+a≤√(a²-4)
(2+a)²≤[-√(a²-4)]²
a²+4a+4≤a²-4
4a≤-8
解得：a≤-2,与a∈[2,∞)矛盾.
由(4)有：√(a²-4)≤4-a
(a)当2≤a≤4时,有：a²-4≤16-8a+a²
即：20≥8a
解得：a≤5/2
此时有：a∈[2,5/2]
(b)当4＜a时,4-a＜0,√(a²-4)＞0,不可能有：√(a²-4)≤4-a
因此,此时无解.
综上所述：a的取值范围是：a∈[2,5/2]、a=-2