Question

已知a大于2,求证：loga(a-1)·log(a+1)大于1

Answer 1

证明：（1）先证明,函数g(x)=x㏑x在(1,+∞)上递增.求导可得g'(x)=1+㏑x.显然当x＞1时,有g'(x)=1+㏑x>1,故函数g(x)在(1,+∞)上递增.因尔有g(x)-g(x+1)＜0,即x㏑x-(x+1)㏑(x+1)＜0,(x>1).(2)再证明函数f(x)=[㏑(x+1)]/㏑x.(x＞1)【注：分子是㏑(x+1),分母是㏑x】在（1,+∞)上递减.求导并整理可得f'(x)=[x㏑x-(x+1)㏑(x+1)]/[x(x+1)㏑²x].由前面结果可知,在(1,+∞)上,有f'(x)＜0,故在(1,+∞)上,函数f(x)=[㏑(x+1)]/㏑x递减.（3）当a＞2时,有a＞a-1＞1.由前结果可知,f(a-1)＞f(a).===>(㏑a)/㏑(a-1)＞[㏑(a+1)]/㏑a.===>㏒(a-1)[a]＞㏒a[a+1].【注：换底.其中,方括号[]内为真数,前者为底数】