Question

已知函数f（x）=2x-a（a∈N*、x∈R），数列an满足a1=-a，an+1-an=f（n）．

Answer 1

解题思路：（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a，由此能求出它的通项公式．

（2）a_n=n²-（1+a）n是关于n的二次函数，二次项系数为1（＞0），所以“a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项”当且仅当

5≤

1+a

2

≤6

，9≤a≤11，由此能求出a的值．

（3）由b₁+2b₂+2²b₃++2^n-1b_n=a_n+1得2^n-1b_n=a_n+1-a_n=f（n）=2n-a，从而b_n=2^1-n（2n-a），由此分别讨论，能求出数列{b_n}中的最大项．

（1）a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁=f（n-1）+f（n-2）+…+f（1）-a=n（n-1-a）．

（2）a_n=n²-（1+a）n是关于n的二次函数，二次项系数为1（＞0），

所以“a₅与a₆这两项中至少有一项为a_n中的最小项”当且仅当5≤

1+a

2≤6，9≤a≤11，a=9、10、11．

（3）由b₁+2b₂+2²b₃++2^n-1b_n=a_n+1得2^n-1b_n=a_n+1-a_n=f（n）=2n-a，从而b_n=2^1-n（2n-a），解

bn≥bn−1

bn≥bn+1

即

21−n(2n−a)≥22−n(2n−2−a)

21−n(2n−a)≥2−n(2n+2−a)得

a

2+1≤n≤

a

2+2

若a=2k（k∈N^*）是偶数，则最大项为b_k+1=b_k+2=2^1-k；

若a=2k-1（k∈N^*）是奇数，则最大项为b_k+1=3×2^-k．

点评：

本题考点： 数列与函数的综合；数列的函数特性；数列递推式．

考点点评： （1）是用叠加与等差数列性质求通项；（2）是函数角度看数列，并用二次函数性质求解数列问题；（3）是从“和式”中分离数列，用比较法讨论数列的最大项．