Question

已知定义在区间[0，2]上的两个函数f（x）和g（x），其中f（x）=x2-2ax+4（a≥1），g(x)＝x2x+1．

Answer 1

解题思路：（1）先将函数f（x）的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间[0，2]的位置关系，可求出函数y=f（x）的最小值m（a）；

（2）根据函数的单调性求出函数f（x）的最小值和g（x）的最大值，然后使f（x₂）_min＞g（x₁）_max，建立关系式，解之即可求出a的范围．

（1）由f（x）=x²-2ax+4=（x-a）²+4-a²，得m(a)=

4-a21≤a<2

8-4aa≥2.…（6分）

（2）g(x)=(x+1)+

1

x+1-2，当x∈[0，2]时，x+1∈[1，3]，

又g（x）在区间[0，2]上单调递增，故g(x)∈[0，

4

3]． …（9分）

由题设，得f（x₂）_min>g（x₁）_max，故

1≤a<2

4-a2>

4

3或

a≥2

8-4a>

4

3…（12分）

解得1≤a<

2

6

3为所求的范围．…（14分）

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题主要考查了函数恒成立问题，以及函数单调性的判定，属于中档题．