Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，Q是PA的中点，BD⊥CQ，PA=PC，PB=3，∠ABC

Answer 1

解题思路：（1）连接AC交BD于点O，连接QO，利用三角形的中位线定理即可证得PC∥QO，进而证明PC∥平面BQD．

（2）利用已知条件先证明PO⊥底面ABCD，进而可求出体积．

（1）如图所示，连接AC交BD于点O，连接QO，PO．

∵底面ABCD是菱形，∴OA=OC，

又∵PQ=QA，∴QO∥PC．

而PC⊄平面BQD，QO⊂平面BQD，

∴PC∥平面BQD．

（2）∵底面ABCD是菱形，

∴对角线BD⊥AC，

又已知BD⊥QC，BD∩AC=O，∴BD⊥平面PAC，从而可得BD⊥PO．

∵PB=PC，OA=OC，∴PO⊥AC．

而BD∩AC=O，∴PO⊥底面ABCD．

∵底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，∴△ABC是正三角形，∴BO=

3．

在Rt△POB中，PO=

PB2−BO2=

32−(

3)2=

6．

可求S_菱形ABCD=2²×sin60°=2

3．

∴V_{四棱锥P-ABCD}=

1

3×2

3×

6=2

2．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评： 本题考查了线面平行和线面垂直及体积，充分理解和运用其判定定理是解题的关键．