Question

三角形ABC,BE平分角B交AC于E,DC平分角C交AB于D,DE中点P分别垂直AB、BC、CA于M,Q,N求PQ=PM

Answer 1

过D作BC、AC的垂线分别交BC、AC于F、G；再过E作BC、AB的垂线分别交BC、AB于H、I.

∵DF⊥BC,EH⊥BC,PQ⊥BC,∴DF∥EH∥PQ,∴DEHF是梯形,又PD＝PE,

∴PQ是梯形DEHF的中位线,∴PQ＝（DF＋EH）/2.

由角平分线性质,有：DF＝DG,EH＝EI,∴PQ＝（DG＋EI）/2.

容易证得：PM、PN分别是△DEI、△DEG的中位线,∴DG＝2PN,EI＝2PM.

∴PQ＝PM＋PN.