(Ⅰ)由已知，得x＞0且f′(x)=
，
当k是奇数时，则f′(x)＞0，则f(x)在(0，+∞)上是增函数；
当k是偶数时，则f′(x)=
，
所以当x∈
时，f′(x)＜0，当x∈
时，f′(x)＞0，
故当k是偶数时，f(x)在
上是减函数，在
上是增函数．
(Ⅱ)若k=2010，则f(x)=x 2-2alnx(k∈N*)，
记g(x)=f(x)-2ax=x 2-2alnx-20x，
g′(x)=
，
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；
令g′(x)=0，得x 2-ax-a=0，
因为a＞0，x＞0，所以
(舍去)，
，
当x∈(0，x 2)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，x 2)是单调递减函数；
当x∈(x 2，+∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(x 2，+∞)上是单调递增函数．
当x=x 2时，g′(x 2)=0，g(x) min=g(x 2)．
因为g(x)=0有唯一解，所以g(x 2)=0，
则
，即
，
两式相减，得2alnx 2+ax 2-a=0，
因为a＞0，
∴2lnx 2+x 2-1=0， (*)
设函数h(x)=21nx+x-1，
因为在x＞0时，h(x)是增函数，所以h(x)=0至多有一解，
因为h(1)=0，
所以方程(*)的解为x 2=1，从而解得
。