设数列{an}满足:a1=1,a2=2,an+2=an(an+12+1)an2+1n∈N).

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  • 解题思路:(1)由an+2=

    a

    n

    (

    a

    n+1

    2

    +1)

    a

    n

    2

    +1

    ,可得

    a

    n+2

    a

    n+1

    1

    a

    n+1

    =

    a

    n+1

    a

    n

    1

    a

    n

    =…=

    2

    1−

    1/1

    ]=1,即可得出an+1与an之间的递推关系;

    (2)证明数列{an}是递增数列,an2-an-12=

    1

    a

    n−1

    2

    -2,即可证明结论;

    (3)a20142=

    1

    a

    2013

    2

    +

    1

    a

    2012

    2

    +…+

    1

    a

    1

    2

    -2(2014-1),再进行放缩,即可求出a2014的整数部分.

    (1)由an+2=

    an(an+12+1)

    an2+1,可得

    an+2

    an+1−

    1

    an+1=

    an+1

    an−

    1

    an,

    an+2

    an+1−

    1

    an+1=

    an+1

    an−

    1

    an=…=[2

    1−

    1/1]=1,

    ∴an+1=an-[1

    an;

    (2)证明:∵a1=1,an+1=an-

    1

    an,

    ∴数列{an}是递增数列,

    ∴0<

    1

    an2≤1,

    n≥2时,an2=(an-1-

    1

    an−1)2=an-12+

    1

    an−12-2,

    ∴an2-an-12=

    1

    an−12-2,

    ∴2<an2-an-12≤3;

    (3)∵an2=an-12+

    1

    an−12-2,

    ∴a20142=

    点评:

    本题考点: 数列递推式;数列的求和.

    考点点评: 本题考查数列递推式,考查数列与不等式的综合,考查学生分析解决问题的能力,有难度.

    1年前

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