解题思路:(1)由an+2=
a
n
(
a
n+1
2
+1)
a
n
2
+1
,可得
a
n+2
a
n+1
−
1
a
n+1
=
a
n+1
a
n
−
1
a
n
=…=
2
1−
1/1
]=1,即可得出an+1与an之间的递推关系;
(2)证明数列{an}是递增数列,an2-an-12=
1
a
n−1
2
-2,即可证明结论;
(3)a20142=
1
a
2013
2
+
1
a
2012
2
+…+
1
a
1
2
-2(2014-1),再进行放缩,即可求出a2014的整数部分.
(1)由an+2=
an(an+12+1)
an2+1,可得
an+2
an+1−
1
an+1=
an+1
an−
1
an,
∴
an+2
an+1−
1
an+1=
an+1
an−
1
an=…=[2
1−
1/1]=1,
∴an+1=an-[1
an;
(2)证明:∵a1=1,an+1=an-
1
an,
∴数列{an}是递增数列,
∴0<
1
an2≤1,
n≥2时,an2=(an-1-
1
an−1)2=an-12+
1
an−12-2,
∴an2-an-12=
1
an−12-2,
∴2<an2-an-12≤3;
(3)∵an2=an-12+
1
an−12-2,
∴a20142=
点评:
本题考点: 数列递推式;数列的求和.
考点点评: 本题考查数列递推式,考查数列与不等式的综合,考查学生分析解决问题的能力,有难度.
1年前
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