Question

设函数f（x）=lnx-cx（c∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤x2恒成立，求c的取值范围

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=lnx-cx，∴x＞0，

f′（x）=[1/x]-c=[1?cx/x]．

当c≤0时，f（x）单调增区间为（0，+∞）．

当c＞0时，f（x）单调增区间为（0，[1/c]），f（x）单调减区间为（[1/c]，+∞）

（ II）∵f（x）≤x²，∴lnx-cx≤x²，

∴c≥[lnx/x?x．

设g（x）=

lnx

x?x，∴g′（x）=

1?lnx?x2

x2]，

∴g（x）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．

∴g（x）的最大值为g（1）=-1，∴c≥-1．

（III）∵f（x）有两个相异零点，∴设lnx₁=cx₁，lnx₂=cx₂，①

即lnx₁-lnx₂=c（x₁-x₂），

∴

lnx1?lnx

x1?x2＝c，②

而x₁?x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即c（x₁+x₂）＞2，③

由①②③得：

lnx1?lnx2

x1?x2（x₁+x₂）＞2，

不妨设x₁＞x₂＞0，则t=

x1

x2＞1，

上式转化为：lnt＞

2(t?1)

t+1，t＞1

设H（t）=lnt-

2(t?1)

t+1，t＞1，

则H′（t）=

(t?1)2

t(t+1)2＞0，

故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，

∴H（t）＞H（1）=0，

即不等式lnt＞

2(t?1)

t+1成立，

故所证不等式x₁?x₂＞e²成立．