Question

y‘’+ky‘-gcosβ=0,y‘’表示y的二阶导数,y‘表示y的一阶导数

Answer 1

y''+ky'-gcosβ=0,（k、g、β常数）

gcosβ=m

1

y''+ky'=0

特征方程r^2+rk=0

r1=-k,r2=0

y=C1e^(-kx)+C2

2

y''+ky'=m

y'+ky=mx+C3 （C3常数）

y'=mx-ky+C3

设mx-ky=u

mdx-kdy=du

mdx/k-du/k=dy

(1/k)[m-du/dx]=u+C3

m-du/dx=ku+kC3

du/dx=m-ku-kC3

du/(m-ku-kC3)=dx

d(m-ku-Kc3)/(m-ku-kC3)=d(-kx)

ln(m-ku-kC3)=-kx+C0

m-ku-kC3=Ce^(-kx) (C=e^c0)

u=m/k-C3-Ce^(-kx)/k

y=mx/k-m/k+(C/km)e^(-kx)-C3

代入m=gcosβ

y=(gcosβ) x/k -gcosβ/k+(C/km)e^(-kx) -C3

3

方程y''+ky'-gcosβ=0通解

y=C1e^(-kx)+(C2-C3)+(gcosβ) x/k -gcosβ/k+(C/km)e^(-kx)