f(-x) = -x/[(-x)²+1] = -x/(x²+1) = -f(x)
此函数是奇函数
设 x1 < x2
f(x1) - f(x2)
= x1/(x1²+1) - x2/(x2²+1)
= [x1(x2²+1)-x2(x1²+1)] / [(x1²+1)(x2²+1)]
= [x1x2(x2-x1)-x2+x1] / [(x1²+1)(x2²+1)]
= (x2-x1)(x1x2-1) / [(x1²+1)(x2²+1)]
当 x 在区间 (1,+∞) 上时,上式 f(x1) - f(x2) > 0,f(x) 是增函数
当 x 在区间 (-∞,-1) 上时,上式 f(x1) - f(x2) > 0,f(x) 是增函数
当 x 在区间 (-1,1) 上时,上式 f(x1) - f(x2) < 0,f(x) 是减函数
图像如下所示