(Ⅰ)因为a 1=b 1，所以a=a+1+b，b=-1，
由a 2＜b 2，得a 2-2a-1＜0， 所以1-
＜a＜1+
，
因为a≥2且a∈N*，所以a=2，所以bn=3n-1，{b n}是等差数列，
所以数列{bn}的前n项和
。
(Ⅱ)由已知b n=3n+
，
假设3m+
，3n+
，3t+
成等比数列，其中m，n，t∈N*，且彼此不等，
则（3m+
） 2=（3m+
）（3t+
），
所以9n 2+6
n+2=9mt+3
m+3
t+2，
所以3n 2-3mt=(m+t-2n)
，
若m+t-2n=0，则3n 2-3mt=0，可得m=t，与m≠t矛盾；
若m+l-2n≠0，则m+t-2n为非零整数，(m+t-2n)
为无理数，
所以3n 2-3mt为无理数，与3n 2-3mt是整数矛盾，
所以数列{bn}中的任意三项都不能构成等比数列。
(Ⅲ)设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠
，
设m 0∈C，则m 0∈A，且m 0∈B，
设m 0=a t(t∈N*)，m 0=（a+1）s+b(s∈N*)，
则a t=（a+1）s+b，所以
，
因为a，t，s∈N*，且a＞2，所以a t-b能被a+1整除，
(1)当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以，
；
(2)当t=2n(n∈N*)时，
，
由于b∈[1，a]，b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a t-b能被a+1整除；
(3)当t=2n+1(n∈N*)时，
，
由于b∈[1，a]，b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a t-b能被a+1整除；
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠
成立，
且当b=1时，C={y|y=a 2n，n∈N*}；
当b=a时，c={y|y=a 2n+1，n∈N*}。