一种方法:
(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数,
于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,
展开得4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9
得证.
补充说明:
这种类型的题,需要逆着推的思路.
要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9,
即证4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,
发现4+5=9,
于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1).(证明此式是20的倍数)
再发现4×5=20,
于是提取20,
即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数.
观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式,
不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式.
问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,
这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数.
于是题目就得证了.