(高中题目) 证明 4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9

1个回答

  • 一种方法:

    (1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,

    求和得 (6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数,

    于是4×(6^n-1)+5×(5^n-1)是20的倍数,

    展开得4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,

    也就是4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9

    得证.

    补充说明:

    这种类型的题,需要逆着推的思路.

    要证明4x6^n+5^(n+1) 被20除后余数为9,

    即证4x6^n+5^(n+1)-9是20的倍数,

    发现4+5=9,

    于是作变换4×(6^n-1)+5×(5^n-1).(证明此式是20的倍数)

    再发现4×5=20,

    于是提取20,

    即证(6^n-1)/5 +(5^n-1)/4为整数.

    观察(6^n-1)/5 和(5^n-1)/4的形式,

    不难发现是(1+6+6^2+…+6^n)和(1+5+5^2+…+5^n)的和公式.

    问题就简化到证明(1+6+6^2+…+6^n)+(1+5+5^2+…+5^n)为整数,

    这是显而易见的——整数的整数次方必定是整数.

    于是题目就得证了.