解题思路：（1）利用对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．令x=y=0即可得到：f（0）．
（2）由于f（x）的定义域为R，可知f（x）的定义域关于原点对称．又令y=-x，即可得到是奇函数．
（3）设x1，x2∈R，x1＜x2，则x2-x1＞0，可得f（x2-x1）＜0，f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，得到f（x）在R上的单调性．利用f（1）=-[1/2]，可得
f(−1)＝
1
2
，进而得到f（-2）=1，于是不等式f（x2-2ax-1）≤1即f（x2-2ax-1）≤f（-2），可得x2-2ax-1≥-2即x2-2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立．即
a≤
x
2
+
1
2x
对x∈[2，4]恒成立．利用导数即可得出．
（1）∵对任意实数x，y有f（x+y）=f（x）+f（y）．
∴令x=y=0得：f（0）=2f（0），得f（0）=0．
（2）∵f（x）的定义域为R，∴f（x）的定义域关于原点对称．
又令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）是奇函数．
（3）设x1，x2∈R，x1＜x2，则x2-x1＞0，
∴f（x2-x1）＜0，∴f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＜0，
∴f（x）是R上的减函数．
∵f（1）=-[1/2]，∴f(−1)＝
1
2，
∴f（-2）=2f（-1）=1，
∴不等式f（x2-2ax-1）≤1即是f（x2-2ax-1）≤f（-2），
∴x2-2ax-1≥-2即x2-2ax+1≥0对x∈[2，4]恒成立．
即a≤
x
2+
1
2x对x∈[2，4]恒成立．
令g(x)＝
x
2+
1
2x，
则g′(x)＝
1
2−
1
2x2=
x2−1
2x2＞0在x∈[2，4]上恒成立，
因此g（x）在x∈[2，4]上单调递增，
∴g(x)min＝g(2)＝1+
1
4＝
5
4．
∴a≤
5
4．
点评：
本题考点： 函数最值的应用；函数奇偶性的判断；二次函数在闭区间上的最值．
考点点评： 正确理解抽象函数的意义、奇函数的判断方法、问题的等价转化、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等是解题的关键．