（1）证明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．（1分）
∵OB是⊙O的半径，
∴CB为⊙O的切线．（2分）
又∵CD切⊙O于点D，
∴BC=CD．（3分）
（2）证明：∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．（4分）
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．（5分）
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．（6分）
（3）由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE ∽ △ABD．（7分）
∴
AD
AB =
AE
AD ．（8分）
∴
2
1+BE =
1
2 ．
∴BE=3．（9分）
∴所求⊙O的直径长为3．（10分）