研究性课程实施一例
研究性课程是指以培养学生的创新精神和创造能力为目的的课程.它要求给学生提供研究的问题和背景,让学生自主研究知识的发生发展过程,因而具有研究性；它从问题的提出、方案的设计与实施,到结论的得出,均由学生来做,因而具有自主创新性；它一般要通过调查、实验、归纳猜想、推证结论、社会实践等方式进行学习,因而具有开放性和实践性.
一、切入课题
研究性课程可分为问题研究模式和自主研究模式两种.问题研究模式的一般程序为：创设问题情景,切入课题；提供或搜集资料；探求解决问题的方法；得出科学结论；发展、运用新知.
在立体几何的中有一个问题：“3个相互平行的平面可将空间分成几部分?”正确的“4个部分.”接着提出：“3个平面可将空间分成几部分?”的问题,由于去掉了“相互平行”的条件,这个问题必须分类讨论回答.
当3个平面相互平行时,分空间为4个部分；
当有且仅有两个平面平行时,分空间为6个部分；
当3个平面两两相交于一条直线时,分空间为6个部分；
当3个平面两两相交,3条交线不交于同一点时,分空间为7个部分；
当3个平面两两相交,3条交线交于一点时,分空间为8个部分.
于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论.在这一背景下,提出了值得深入研究的新课题：“4个平面最多可将空间分为多少部分?n个平面又将空间最多分成多少部分?”
这两个问题不属于教材和大纲的要求范围,但对它们的探索和研究有助于培养我们的创新精神和实践能力.
二、探索和研究
不少学生对“4个平面最多可以把空间分成多少部分”的研究取得了成功.方法是多样的,有的采取作图直观计数,有的采用以三棱锥为载体计数,有的采用递推分析.不妨将第二种方法作一个简单介绍：三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交,且交线互不平行,每3个平面相交于一点,4个交点就是三棱锥的4个顶点.每个顶点各自“对着”一部分空间,4个顶点,6条棱,4个面“对着”14个部分空间,但4个面中间围了一部分空间,所以4个平面最多可将空间分成15个部分.
但用类似的方法却不能解决n个平面分空间的问题.有同学采用实验、观察、归纳的方法得出了n个平面最多可以将空间分为 部分.
他的探索过程是这样的：1个点最多将1条直线分为2部分,2个点分为3部分,3个点分为4部分……；l条直线最多将平面分为2部分,2条直线分为4部分,3条直线分为7部分……；1个平面最多将空间分为2部分,2个平面分成4部分,3个平面分为8部分……通过列表、观察、归纳,得出了一个递推关系,于是推得结论.
老师肯定了他的探索、观察、归纳能力,同时指出,这个递推关系只是一个猜想,是否正确,还有待证明,最后应形成一篇论文,让大家都能看懂.
三、科学论证
n个平面最多可将空间分成 部分.
这是一个与自然数n有关的数学命题,它的证明要用到数学归纳法,要高中二年级下期才学,对于高一学生来说,具有很高的难度.（同学可以找到高二这部分内容看看）
这位同学自学了高二的“数学归纳法”,证明了他归纳猜想的递推关系,对于三维以下空间是完全正确的,并由此可以得出结论.但他认为运算还相当繁琐,还需要简化运算过程.于是他又根据已自学的杨辉三角与组合数的知识进行类比,得出了递推关系的简化公式.
（*）
特别地,P(1,n)=n+1,即n个点可把一条直线（一维空间）最多分成n+1部分；
,即n条直线可把一个平面（二维空间）最多分成 部分； ,即n个平面可把一个空间（三维空间）最多分成 部分.
用最后一个公式彻底解决了n个平面最多可将三维空间分成P部分的问题.比如“不准移动西瓜,5刀最多可将一个西瓜切成多少块?”这样的难题也就迎刃而解了.只需将n=5代入最后一个公式得P＝26,即最多可分为26块.
这位同学最后提及：“公式（*）只在D≤3时获证,至于D＞3时公式（*）是否成立,其几何意义如何等,还有待对这个问题有兴趣的朋友进一步研究.
按他的猜想D＞3时,公式（*）也应是正确的,但三维空间的立方体如何去分割四维空间?的确需要进一步研究.
这个课题的研究是必修课内容的延伸,是大家感兴趣的问题,是大家通过努力可以解决的问题,这恰好符合研究性课程的选题原则.通过这个问题的研究,提高了大家学习数学的兴趣,培养了大家的研究能力,动手实践能力和创新能力,也培养了同学们的自学能力和表达能力,其效果是深远的.
四、深入发展
这个同学《“平面分空间”问题的研究》论文发表在北京《数理天地》杂志2000年第七期上.还有一位同学对这个问题产生了浓厚的兴趣,通过对高等代数、空间解析几何等高等数学的自学和研究,写出了《对n维欧几里得空间的分割》的论文,论文无论从研究方式、表述形式、内容深度都有了提高,基本上解决了用n维标准形分割n+1维空间的问题,使这一研究课题向纵深发展,结论上更具普遍性.