Question

已知a>0,b>0,c>0且abc=1,求证根号a＋根号b＋根号c

Answer 1

（1）由均值不等式可知,ab+bc≥2b√(ac),bc+ca≥2c√(ab),ca+ab≥2a√(bc).三式相加可得：ab+bc+ca≥a√(bc)+b√(ca)+c√(ab).等号仅当a=b=c>0时取得.（2）由abc=1可知,其一,a√(bc)=√(abc*a)=√a,b√(ca)=√(abc*b)=√b,c√(ab)=√(abc*c)=√c.三式相加可得：a√(bc)+b√(ca)+c√(ab)=√a+√b+√c.其二,ab=(abc)/c=1/c,bc=(abc)/a=1/a,ca=(abc)/b=1/b,三式相加可得：ab+bc+ca=(1/a)+(1/b)+(1/c).(3)等量代换可知,原不等式成立.