解题思路：（Ⅰ）由bn=an-1得到an=bn+1，代入2an=1+2anan+1，得到{[1
b
n
}为等差数列，由等差数列的通项公式求得
1
b
n
，
进一步得到bn，则数列{an}的通项公式可求；
（Ⅱ）把bn代入Cn=bnbn+1，整理得到
C
n
＝
1
n(n+1)
＝
1/n
−
1
n+1]，则数列{Cn}的前n项和可求，放缩得到Sn＜1．
证明：（Ⅰ）∵bn=an-1，
∴an=bn+1，
又2an=1+2anan+1，
∴2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
化简得：bn-bn+1=bnbn+1，
∵bn≠0，
∴
1
bn+1−
1
bn＝1（n∈N*）
又
1
b1＝
1
a1−1＝
1/2−1＝1，
∴{
1
bn]}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴[1
bn＝1+(n−1)×1＝n，
∴bn＝
1/n]．
则an＝
1
n+1＝
n+1
n；
（Ⅱ）由Cn=bnbn+1，得：
Cn＝
1
n(n+1)＝
1
n−
1
n+1．
∴Sn=C1+C2+…+Cn=(1−
1
2)+(
1
2−
1
3)+…+(
1
n−
1
n+1)
=1−
1
2+
1
2−
1
3+…+
1
n−
1
n+1
=1-[1/n+1]．
∵n∈N*，
∴1−
1
n+1＜1．
即Sn＜1成立．
点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；等差关系的确定．
考点点评： 本题考查数列与不等式综合，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的和，是中档题．
1年前
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