①∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x）
∴函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数，故①正确；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，∴f（x）=-f（2-x），∴f（x+2）=-f（-x），f（x）不是以2为周期的周期函数，故②错误；
③∵对任意x∈R都有f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=-f（x）
∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）
∴f（2+x）=f（-x）
∴f（x）的图象关于直线x=1对称；
④设任意x 1，x 2∈R且x 1＜x 2，∴x 1-x 2＜0，
∵
f( x 1 )-f( x 2 )
x 1 - x 2 ＞0
∴f（x 1）-f（x 2）＜0
∴f（x 1）＜f（x 2）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．