Question

（2013•顺义区一模）已知椭圆C：x2a2+y2=1（a＞1）的上顶点为A，左焦点为F，直线AF与圆M：x2+y2+6

Answer 1

解题思路：（I）写出直线AF的方程，由直线AF与圆M相切得关于c的方程，解出c再由a²=c²+b²即可求得a值；

（II）易判断直线PQ的斜率存在，设出其点斜式方程，根据弦长公式表示出PQ，根据点到直线的距离公式表示出点A（0，1）到直线PQ的距离，由三角形面积公式可表示出△APQ的面积，根据该函数的结构特点转化为二次函数即可求得面积最大时k的值；

（I）将圆M的一般方程x²+y²+6x-2y+7=0化为标准方程（x+3）²+（y-1）²=3，则圆M的圆心M（-3，1），半径r＝

3．

由A(0，1)，F(−c，0)(c＝

a2−1)得直线AF的方程为x-cy+c=0．

由直线AF与圆M相切，得

|−3−c+c|

1+c2＝

3，

解得c＝

2或c＝−

2（舍去）．

当c＝

2时，a²=c²+1=3，

故椭圆C的方程为

x2

3+y2＝1．

（II）由题意可知，直线PQ的斜率存在，设直线的斜率为k，则直线PQ的方程为y＝kx−

1

2．

因为点(0，

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及直线与圆方程的求解，考查学生综合运用知识解决问题的能力，有关的基本公式、常用方程是解决问题的基础．