Question

（2009•河北区二模）数列{an}中，a3=1，a1+a2+…+an=an+1（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意，可求得a₁=a₂；而a₁+a₂=a₃=1，从而可求a₁，a₂，继而可求得a₄，a₅；

（Ⅱ）可求得2S_n=S_n+1，即{S_n}是首项为S₁=a₁=[1/2]，公比为2的等比数列，从而可求得S_n=2^n-2；

（Ⅲ）依题意，可求得c_n=n•2^n-2，利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

（Ⅰ）当n=1时，有a₁=a₂；当n=2时，有a₁+a₂=a₃；…

∵a₃=1，

∴a₁=[1/2]，a₂=[1/2]，a₄=2，a₅=4．…（4分）

（Ⅱ）∵S_n=a_n+1=S_n+1-S_n，…（6分）

∴2S_n=S_n+1

∴

Sn+1

Sn=2…（8分）

∴{S_n}是首项为S₁=a₁=[1/2]，公比为2的等比数列．

∴S_n=[1/2]•2^n-1=2^n-2…（10分）

（Ⅲ）由S_n=2^n-2，得b_n=n-2，

∴b_n+3=n+1，b_n+4=n+2，

∵c_n•b_n+3•b_n+4=n（n+1）（n+2）S_n，

∴c_n•（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）2^n-2，

即c_n=n•2^n-2．…（12分）

T_n=1×2^-1+2×2⁰+3×2¹+4×2²+…+n•2^n-2…①

则2T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1…②

②一①得

T_n=n•2^n-1-2^-1-2⁰-2¹-…-2^n-2=n•2^n-1-

2−1(1−2n)

1−2=n•2^n-1+[1/2]．…（14分）

点评：

本题考点： 数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的求和，考查等比数列的判定，突出考查错位相减法求和，考查等价转化思想与推理运算能力，属于难题．