解题思路:(I)设AB的中点为G,连接DG,CG,根据三角形中位线性质,结合已知中E是C1C的中点,可得CEDG是平行四边形,进而DE∥GC,则线面平行的判定定理可得,DE∥平面ABC;
(Ⅱ)由已知中ABC为等腰直角三角形,且∠BAC=90°,F是BC的中点,根据等腰三角形“三线合一”可得AF⊥BC,由直三棱柱性质可得,平面ABC⊥平面BCC1B1,结合面面垂直的性质可得AF⊥B1F,又由勾股定理,可得B1F⊥EF结合线面垂直的判定定理,即可得到B1F⊥平面AEF;
(Ⅲ)分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=AA1=2,则可求出各顶点坐标,进而求出平面AEB1与平面EB1F的法向量,代入向量夹角公式,即可得到答案.
证明:(Ⅰ)设AB的中点为G,连接DG,CG
∵D是A1B的中点
∴DG∥A1A且DG=[1/2A1A
∵E是C1C的中点
∴CE∥A1A且CE=
1
2A1A
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形
∴DE∥GC
∵DE⊄平面ABC,GC⊂平面ABC
∴DE∥平面ABC(4分)
(Ⅱ)∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC1B1
∴AF⊥平面BCC1B1
∴AF⊥B1F(6分)
设AB=AA1=2
则在B1FE中,B1F=
6],
则EF=
3,B1E=3
∴B1E2=B1F2+EF2=9
∴△B1FE是直角三角形,
∴B1F⊥EF(8分)
∵AF∩EF=F
∴B1F⊥平面AEF(9分)
(Ⅲ)分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,
设AB=AA1=2,则设A(0,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1)
∵AF⊥平面BCC1B1
∴面B1FE的法向量为
AF=(1,1,0),(10分)
设平面AB1E的法向量为
n=(x,y,z)
∵
AE=(0,2,1),
AD=(1,0,1)
∴
AE•
n=0,
AD•
n=0
∴2y+z=0,,x+z=0,
不妨设z=-2,可得
n=(2,1,−2)(12分)
∴cos<
n,
AF>=
n•
AF
|
n||
AF|=
3
3
2=
2
2(13分)
∵二面角A-EB1-F是锐角
∴二面角A-EB1-F的大小45°(14分)
点评:
本题考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;用空间向量求平面间的夹角.
考点点评: 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,用空间向量求平面间的夹角,(I)的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线,(II)的关键是在平面找到两条件与已知直线均垂直的相交直线,(III)的关键是建立空间坐标系,将空间二面角问题转化为向量夹角问题.