已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等腰直角三角形,且∠BAC=90°,且AB=AA1,D,E,F分别为B1A

1个回答

  • 解题思路:(I)设AB的中点为G,连接DG,CG,根据三角形中位线性质,结合已知中E是C1C的中点,可得CEDG是平行四边形,进而DE∥GC,则线面平行的判定定理可得,DE∥平面ABC;

    (Ⅱ)由已知中ABC为等腰直角三角形,且∠BAC=90°,F是BC的中点,根据等腰三角形“三线合一”可得AF⊥BC,由直三棱柱性质可得,平面ABC⊥平面BCC1B1,结合面面垂直的性质可得AF⊥B1F,又由勾股定理,可得B1F⊥EF结合线面垂直的判定定理,即可得到B1F⊥平面AEF;

    (Ⅲ)分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,设AB=AA1=2,则可求出各顶点坐标,进而求出平面AEB1与平面EB1F的法向量,代入向量夹角公式,即可得到答案.

    证明:(Ⅰ)设AB的中点为G,连接DG,CG

    ∵D是A1B的中点

    ∴DG∥A1A且DG=[1/2A1A

    ∵E是C1C的中点

    ∴CE∥A1A且CE=

    1

    2A1A

    ∴CE∥DG且CE=DG

    ∴CEDG是平行四边形

    ∴DE∥GC

    ∵DE⊄平面ABC,GC⊂平面ABC

    ∴DE∥平面ABC(4分)

    (Ⅱ)∵△ABC为等腰直角三角形,∠BAC=90°,且F是BC的中点

    ∴AF⊥BC

    ∵平面ABC⊥平面BCC1B1

    ∴AF⊥平面BCC1B1

    ∴AF⊥B1F(6分)

    设AB=AA1=2

    则在B1FE中,B1F=

    6],

    则EF=

    3,B1E=3

    ∴B1E2=B1F2+EF2=9

    ∴△B1FE是直角三角形,

    ∴B1F⊥EF(8分)

    ∵AF∩EF=F

    ∴B1F⊥平面AEF(9分)

    (Ⅲ)分别以AB,AC,AA1为x,y,z轴建立空间直角坐标系A-xyz,

    设AB=AA1=2,则设A(0,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),D(1,0,1)

    ∵AF⊥平面BCC1B1

    ∴面B1FE的法向量为

    AF=(1,1,0),(10分)

    设平面AB1E的法向量为

    n=(x,y,z)

    AE=(0,2,1),

    AD=(1,0,1)

    AE•

    n=0,

    AD•

    n=0

    ∴2y+z=0,,x+z=0,

    不妨设z=-2,可得

    n=(2,1,−2)(12分)

    ∴cos<

    n,

    AF>=

    n•

    AF

    |

    n||

    AF|=

    3

    3

    2=

    2

    2(13分)

    ∵二面角A-EB1-F是锐角

    ∴二面角A-EB1-F的大小45°(14分)

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定;用空间向量求平面间的夹角.

    考点点评: 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,用空间向量求平面间的夹角,(I)的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线,(II)的关键是在平面找到两条件与已知直线均垂直的相交直线,(III)的关键是建立空间坐标系,将空间二面角问题转化为向量夹角问题.