Question

（2008•防城港）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，已知AD=8，BC=12，AB=4．动点E从点B出发，

Answer 1

解题思路：（1）当C，E，F三点共线时，△EAF∽△EBC，用t表示相关线段的长，用相似比求t；

（2）分两种情况，即：点E在线段AB上，点E在线段AB外；根据图形，分别表示面积及t的范围；

（3）以B、E、F为顶点的三角形是等腰三角形，有三种可能，即BE=BF，BE=EF，BF=EF，根据图形特点，结合勾股定理进行计算．

（1）依题意得BE=3t，AF=2t，当C，E，F三点共线时，

∵AF∥BC

∴△AEF∽△BEF

∴[AE/BE]=[AF/BC]即：[3t−4/3t]=[2t/12]；解得t²-6t+8=0，t₁=2，t₂=4

∴当t=2或4秒时，C、E、F三点共线．

（2）当0≤t＜[4/3]时，S=[1/2]（2t+12）×4-[1/2]（4-3t）×2t=3t²+24；

当[4/3]≤t≤4时，S=[1/2]（2t+12）×4+12（3t-4）×2t=3t²+24

故当t=4时，S最大为72，此时BE=3t=12，tan∠BEF=[BC/BE]=1．

（3）当E点在线段AB上时，BE=EF，

在Rt△AEF中，AE²+AF²=EF²，

即（4-3t）²+（2t）²=（3t）²，解得t₁=3-

5，t₂=3+

5（舍去）；

当E点在线段AB以外时，

若BE=BF，则BE²=BF²，即（3t）²=4²+（2t）²，解得：t=±

4

5

5（舍去负值）；

若BE=EF，则BE²=EF²，即（3t）²=（3t-4）²+（2t）²，解得t₁=3-

5（舍去），t₂=3+

点评：

本题考点： 锐角三角函数的定义；等腰三角形的判定与性质；梯形；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题考查了相似三角形的实际应用，列分段函数的方法，寻找等腰三角形的条件等知识，充分运用了勾股定理的计算功能．