Question

惠民中学八年级数学学习兴趣小组的同学对“如图，AD是△ABC的边BC上的高，添加一个条件使△ABC是等腰三角形”这一问题

Answer 1

解题思路：首先利用勾股定理，可得AB²=BD²+AD²①，AC²=CD²+AD²②，即可得AB²-BD²=AC²-CD²，然后利用平方差公式分解因式可得（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD），即可得当添加①AB+BD=AC+CD或②AB-BD=AC-CD是都能得到△ABC是等腰三角形．

选择①或②，均可得（2分）．

理由：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°，

在Rt△ABD中，∵∠ADB═90°，

∴AB²=BD²+AD²①，

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，

∴AC²=CD²+AD²②，…（5分）

由①-②得：AB²-AC²=BD²-CD²，

∴AB²-BD²=AC²-CD²，

即（AB+BD）（AB-BD）=（AC+CD）（AC-CD），…（8分）

当AB+BD=AC+CD时，必有AB-BD=AC-CD（反之亦然），

则AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．…（10分）

故答案为：①或②．

点评：

本题考点： 等腰三角形的判定；勾股定理．

考点点评： 此题考查了等腰三角形的判定、勾股定理以及平方差公式分解因式的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．