解题思路:(1)把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式;
(2)利用(1)的结论证明抛物线y=x2+px+q的判别式是正数就可以了;
(3)首先求出方程x2+px+q+1=0的两根,然后用p表示AB的长度,表示抛物线顶点坐标,再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程,解方程即可求出p.
(1)由题意得22+2p+q+1=0,即q=-2p-5;
证明:(2)∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q,
由(1)得△=p2+4(2p+5)=p2+8p+20=(p+4)2+4>0,
∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,
∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;
(3)由题意,x2+px-2p-4=0,
解此方程得x1=2,x2=-p-2 (p≠-4),
∴AB=p+4(p>-4)或AB=-P-4(P<-4),
∵y=x2+px-2p-4的顶点坐标是(−
p
2,−
(p+4)2
4).
以AB为直径的圆经过顶点,
(p+4)2
4=
p+4
2或
(p+4)2
4=−
p+4
2.
解得p=-2或p=-6,
∴
p=−2
q=−1或
p=−6
q=7.
点评:
本题考点: 抛物线与x轴的交点.
考点点评: 此题比较难,综合性比较强,主要利用了抛物线与x轴交点情况与判别式的关系解决问题,也利用了圆的知识来确定待定系数.