已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.

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  • 解题思路:(1)把x=2直接代入一元二次方程x2+px+q+1=0中即可得到q关于p的函数关系式;

    (2)利用(1)的结论证明抛物线y=x2+px+q的判别式是正数就可以了;

    (3)首先求出方程x2+px+q+1=0的两根,然后用p表示AB的长度,表示抛物线顶点坐标,再利用以AB为直径的圆正好经过该抛物线的顶点可以得到关于p的方程,解方程即可求出p.

    (1)由题意得22+2p+q+1=0,即q=-2p-5;

    证明:(2)∵一元二次方程x2+px+q=0的判别式△=p2-4q,

    由(1)得△=p2+4(2p+5)=p2+8p+20=(p+4)2+4>0,

    ∴一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,

    ∴抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点;

    (3)由题意,x2+px-2p-4=0,

    解此方程得x1=2,x2=-p-2 (p≠-4),

    ∴AB=p+4(p>-4)或AB=-P-4(P<-4),

    ∵y=x2+px-2p-4的顶点坐标是(−

    p

    2,−

    (p+4)2

    4).

    以AB为直径的圆经过顶点,

    (p+4)2

    4=

    p+4

    2或

    (p+4)2

    4=−

    p+4

    2.

    解得p=-2或p=-6,

    p=−2

    q=−1或

    p=−6

    q=7.

    点评:

    本题考点: 抛物线与x轴的交点.

    考点点评: 此题比较难,综合性比较强,主要利用了抛物线与x轴交点情况与判别式的关系解决问题,也利用了圆的知识来确定待定系数.