Question

法国科学家阿尔贝和德国科学家彼得由于发现了巨磁电阻 （GMR）效应，荣获诺贝尔物理学奖．已知巨磁电阻的阻值随周

Answer 1

（1）f（x）=ln（1-x）+x，定义域为（-∞，1），g′(x)＝1−

1

1−x，令g'（x）=0得x=0，

可以列表，也可以直接研究g'（x）的正负，得g（x）的单调递增区间为（-∞，0）；

单调递减区间为（0，1）；x=0时g（x）有极大值0．

（2）f′(x)＝2x−

2a

1−x，若f'（x）≥0，即2x−

2a

1−x≥0⇒a≤[x（1-x）]_min⇒a≤-2，

若f'（x）≤0，即2x−

2a

1−x≤0⇒a≥[x(1−x)]max⇒a≥

1

4，

所以a≤-2或a≥

1

4．

（3）证明：由（n+1）a_n+1=na_n，用累乘法得an＝

1

n，

由（1）知当x∈（0，1）时g'（x）＜0又g（0）=0，得g（x）=ln（1-x）+x＜g（0）=0，得x＜-ln（1-x）*n≥2⇒

1

n∈(0，1)，x＝

1

n代入*得[1/n＜ln

n

n−1]Sn＝1+

1

2+

1

3+…+

1

n＜1+ln

2

1+ln

3

2+…+ln

n

n−1＝1+ln(

2

1×

3

2×…×

n

n−1)＝1+lnn，

所以当n≥2时，S_n＜1+lnn．…（14分）