Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：BD2+CD2=2AD2．

Answer 1

解题思路：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要证明BD²+CD²=2AD²，只需找出BD、CD、AD三者之间的关系即可，由勾股定理可得出AD²=AE²+ED²，AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，ED=BD-BE=CE-CD，代入求出三者之间的关系即可得证．

证明：作AE⊥BC于E，如上图所示：

由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，

∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴BE=CE=

1

2BC，

由勾股定理可得：

AB²+AC²=BC²，

AE²=AB²-BE²=AC²-CE²，

AD²=AE²+ED²，

∴2AD²=2AE²+2ED²=AB²-BE²+（BD-BE）²+AC²-CE²+（CE-CD）²

=AB²+AC²+BD²+CD²-2BD×BE-2CD×CE

=AB²+AC²+BD²+CD²-2×

1

2BC×BC

=BD²+CD²，

即：BD²+CD²=2AD²．

点评：

本题考点： ["勾股定理"]

考点点评： 本题主要考查勾股定理，关键在于找出直角三角形利用勾股定理求证，本题主要运用“等量代换”求出BD、CD、AD三者之间的关系．