Question

设f(x)＝2(log2x)2+2alog21x+b，已知当x＝12时，f（x）有最小值-8，

Answer 1

解题思路：（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），可得当t=[a/2]时，g（t）取得最小值．即当

log

2

1

2

=[a/2] 时，g（t）取得最小值为 2

(

a

2

)

2

-2a×[a/2]+b=-8．

由此求得a、b的值．

（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，解得t的范围，可得x的范围．

（1）令log₂x=t，则有f（x）=2t²-2at+b=g（t），

故由题意可得，当t=[a/2]时，g（t）取得最小值．

故当log2

1

2=[a/2] 时，g（t）取得最小值为 2(

a

2)2-2a×[a/2]+b=-8．

解得a=-2，b=-6．

（2）由f（x）＞0 可得 2t²+4t-6＞0，

解得 t＜-3，或t＞1，即log₂x＜-3，或 log₂x＞1，

解得 0＜x＜[1/8]，或 x＞2，

故所求的x的集合为 {x|0＜x＜

1

8 ，或x＞2}．

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式、对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．