Question

y=1/2(ex+e-x)的反函数怎么求

Answer 1

y=[e^x+e^(-x)]/2

2y = e^x + e^(-x)

2y e^x = (e^x)^2 + 1

(e^x)^2 - 2y e^x + 1 = 0

e^x = [2y ±√(4y^2 -4)]/2 = y ±√(y^2 -1)

其中

y -√(y^2 -1)

= 1/[y +√(y^2 -1)]

< 1/y

同时

y=[e^x+e^(-x)]/2

≥2 √[e^x * e^(-x)] /2

= 1

当 x = 0 时,y = 1

而 x > 0

因此

y > 1

1/y < 1

y -√(y^2 -1) < 1

而 x > 0 ,e^x > 1

因此 舍去 e^x = y -√(y^2 -1)

e^x = y +√(y^2 -1)

x = ln [y +√(y^2 -1)]

互换 x 和 y 符号

y = ln [x -√(x^2 -1)]

其中 x > 1